¿Qué es polinomio de taylor?

Introducción al Polinomio de Taylor

Para comprender el mundo de las finanzas y la economía, es esencial tener herramientas que permitan analizar y predecir el comportamiento de ciertas variables económicas. Más allá de su intimidante nombre matemático, el Polinomio de Taylor es una de estas herramientas. Nos ayuda a aproximar funciones complejas mediante polinomios más sencillos y manejables. Así que, comencemos por desentrañar qué es y cómo funciona este interesante concepto.

¿Qué es un Polinomio de Taylor?

Un polinomio de Taylor es una representación de una función como una suma de términos calculados a partir de los valores de las derivadas de la función en un punto específico. En esencia, lo que hace el polinomio de Taylor es proporcionarnos una aproximación de una función, la cual puede ser extremadamente útil cuando se manejan cálculos complicados en el análisis económico y financiero.

La Teoría detrás del Polinomio

Toda función que sea infinitamente diferenciable en un punto puede ser expresada como un polinomio de Taylor. Esta expansión matemática toma en cuenta las derivadas de la función hasta el grado que necesitemos para obtener la aproximación deseada. La fórmula general para un polinomio de Taylor de grado n alrededor de un punto a es:

[ P_n(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + frac{f»(a)}{2!}(x-a)^2 + cdots + frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n ]

Donde ( f^{(n)} ) denota la n-ésima derivada de ( f ) evaluada en ( a ), y ( n! ) es el factorial de n.

Aplicaciones del Polinomio de Taylor

El polinomio de Taylor tiene aplicaciones variadas en el análisis económico, tales como en la evaluación de inversiones, en la estimación de curvas de demanda o incluso en la modelización de la inflación. Su utilidad reside en la capacidad de simplificar funciones complicadas, permitiendo así manipulaciones algebraicas más accesibles y predicciones más prácticas.

Elementos del Polinomio de Taylor

• Punto de aproximación: es el valor ( a ) alrededor del cual construimos la aproximación polinómica de nuestra función. Este punto es una referencia para todas las derivadas que se calculan.
• Grado del polinomio: es el valor ( n ) que determina hasta qué término se extiende la suma en la fórmula del polinomio. Cuanto mayor sea el grado, más precisa será la aproximación.
• Derivadas de la función: las derivadas de la función en el punto de aproximación son fundamentales para construir cada uno de los términos del polinomio.

Ejemplos Prácticos

Ahora que hemos revisado la teoría, veamos cómo funciona esto con un par de ejemplos prácticos que ilustran la aplicación del polinomio de Taylor.

Ejemplo 1: Aproximación de exponenciales
Imaginemos que deseamos calcular el valor de ( e^x ) para ( x ) próximo a 0. Sabemos que:
[ f(x) = e^x ]
y que todas las derivadas de la función exponencial son ( e^x ). En ( x=0 ) todas las derivadas valen 1. Si utilizamos un polinomio de Taylor de grado 3, tendríamos:
[ P_3(x) = 1 + x + frac{x^2}{2!} + frac{x^3}{3!} ]
Con esto podemos aproximar ( e^x ) para valores pequeños de ( x ) con bastante precisión.

Ejemplo 2: Aplicación en tasas de interés
Supongamos que una empresa necesita estimar el crecimiento de su inversión en el tiempo y decide utilizar la función de crecimiento compuesto, que es exponencial. Se puede emplear un polinomio de Taylor para simplificar los cálculos del interés compuesto en un intervalo pequeño alrededor de un valor inicial. Esto podría permitirle a la empresa prever con mayor facilidad los intereses que ganaría en un periodo corto sin necesidad de realizar cálculos complejos.